反正切函数反余切函数
1. 反正切函数反余切函数
1、反正弦函数y=arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。定义域[-1，1] 。
2、反余弦函数y=arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。定义域[-1，1] 。
3、反正切函数y=arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。定义域R。
4、反余切函数y=arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。定义域R。
5、反正割函数y=arcsecx，表示一个正割值为x的角，该角的范围在[0,π/2)U(π/2,π]区间内。定义域（-∞,-1]U[1,+∞)。
6、反余割函数y=arccscx，表示一个余割值为x的角，该角的范围在[-π/2,0)U(0,π/2]区间内。定义域（-∞,-1]U[1,+∞)
2. 反正切函数加反余切函数
反正弦函数：y=sin x在［-π/2,π/2］上的反函数，叫做反正弦函数，记为x=arc sin y;
反余弦函数：y=cosx在［0,π］上的反函数，叫做反余弦函数，记为x=arc cos y
反正切函数：y=tgx在［-π/2,π/2］上的反函数，叫做反正切函数，记为x=arc tg y
反余切函数：y=ctgx在［0,π］上的反函数，叫做反余切函数，记为x=arc ctg y.用同样的道理可以定义反正割函数和反余割函数。反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数、反正割函数和反余割函数都称为反三角函数。
3. 反正切函数与反余切函数的关系
反三角函数与三角函数是对应的，除了正弦，余弦，正切，余切函数有反三角函数外，正割、余割函数也都有反三角函数。
反三角函数与三角函数是对应的，除了正弦，余弦，正切，余切函数有反三角函数外，正割、余割函数也都有反三角函数。
常见的反三角函数有6种，而不是4种。
常见的反三角函数有：反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数、反正割函数、反余割函数。
4. 反余切函数的反函数
三角函数有反三角函数，但它不能狭义的理解为三角函数，是个多值函数。
反三角函数
它是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。
反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了【arc+函数名】的形式表示反三角函数，而不是f-1(x）。
为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。
⑴正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。arcsin x表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。【图中红线】
⑵余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。arccos x表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。【图中蓝线】
⑶正切函数y=tan x在(-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。arctan x表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。【图中绿线】
注释：【图的画法根据反函数的性质即：反函数图像关于y=x对称】
反三角函数主要是三个：
y=arcsin(x），定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]图象用深红色线条；
y=arccos(x），定义域[-1，1] ， 值域[0，π]，图象用深蓝色线条；
y=arctan(x），定义域（-∞，+∞），值域（-π/2，π/2），图象用浅绿色线条；
y=arccot(x），定义域（-∞，+∞），值域（0，π），暂无图象；
sin(arcsin x)=x，定义域[-1，1]，值域 [-1，1] arcsin(-x)=-arcsinx
证明方法如下：设arcsin(x)=y，则sin(y)=x，将这两个式子代入上式即可得
其他几个用类似方法可得
cos(arccos x)=x，arccos(-x)=π-arccos x
tan(arctan x)=x，arctan(-x)=-arctanx
5. 反正切函数值表
正弦:30度是二分之一；45度是二分之根号二；60度是二分之根号三。余弦:30度是二分之根号三；45度是二分之根号二；60度是二分之一。正切:30度是三分之根号三；45度是一；60度是根号三。
正弦函数值：30度是二分之一；45度是二分之根号二；60度是二分之根号三；sin0=sin0°=0。
余弦函数值：30度是二分之根号三；45度是二分之根号二；60度是二分之一。
正切函数值：30度是三分之根号三；45度是一；60度是根号三。
正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
余弦值等于直角三角形的一个锐角的邻边与斜边的比值。
正切值是指是直角三角形中，某一锐角的对边与另一相邻直角边的比值。
6. 反余切函数和正切函数的关系
正切函数与余切函数的关系是：互为倒数。相关知识点：三角函数的定义 在直角坐标系xoy中，角a的顶点在原点，角a的始边与x轴的正半轴重合，点P(x, y)为终边上一点，设IOPI=r, 则 y/r 叫做角a的正弦，记作sina; x/r 叫做角a的余弦，记作cosa; y/x叫做角a的正切，记作tana; x/y叫做角a的余切，记作cota.即：sina=y/r, cosa=x/r, tana=y/x, cota=x/y.
7. 反余切函数是什么函数
反三角函数就是反函数的一种，也属于基本初等函数。反三角函数不是多值函数，因为反函数的自变量和因变量得是一一对应，比如圆的表达式x的平方+y的平方=1，是多值函数，它是没有反函数的，但你只要给x，y加以限制，比如说x，y大于0，那他就有反函数。扯远了，反三角函数的图像是三角函数关于x=y这条直线旋转一百八十度。而三角函数的定义域是有限制的，正弦和正切取单增那一块(-π/2到π/2)，余弦和余切取单减那一块(0到π)，所以反三角函数的值是有范围的，也称为主值。是一种数学术语。反三角函数并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。它是反正弦Arcsinx，反余弦Arccosx，反正切Arctanx，反余切Arccotx这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。
8. 反余切函数和反正切函数的关系
反正弦函数y=arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。
反余弦函数y=arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。
定义域[-1，1] ， 值域[0，π]。
反正切函数y=arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。
定义域R，值域（-π/2，π/2）。
反余切函数y=arccotx， 表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。
定义域R，值域（0，π）。
反正割函数y=arcsecx，表示一个正割值为x的角，该角的范围在[0,π/2)U(π/2,π]区间内。
定义域（-∞,-1]U[1,+∞),值域[0,π/2)U(π/2,π]。
反余割函数y=arccscx，表示一个余割值为x的角，该角的范围在[-π/2,0)U(0,π/2]区间内。
定义域（-∞,-1]U[1,+∞),值域[-π/2,0)U(0,π/2]。
9. 反正切函数与反余切函数
反三角函数公式包括1、arcsin(-x)=-arcsinx。2、arccos(-x)=π-arccosx。3、arctan(-x)=-arctanx。4、arccot(-x)=π-arccotx。5、arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx。6、sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)。7、当x∈[—π/2,π/2]时,有arcsin(sinx)=x。8、当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=x。9、x∈(—π/2,π/2),arctan(tanx)=x。
反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切 ，反正割，反余割为x的角。
三角函数的反函数是个多值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数 y=x 对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。
反三角函数（inverse trigonometric function）是一类初等函数。指三角函数的反函数，由于基本三角函数具有周期性，所以反三角函数是多值函数。这种多值的反三角函数包括：反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数、反正割函数、反余割函数，分别记为Arcsin x，Arccos x，Arctan x，Arccot x，Arcsec x，Arccsc x。
10. 反正切函数与反余切函数之和
数学中把反正弦函数y=arcsinx，反余弦函数y=arccosx，反正切函数y=arctanx，反余切函数y=arccotx统称为反三角函数。一下就是三角函数与反三角函数的公式与图像
1. 正弦函数 sin x， 反正弦函数 arcsin x
y = sin x， x∈R， y∈[–1，1]，周期为2π，函数图像以 x = (π/2) + kπ 为对称轴
y = arcsin x， x∈[–1，1]， y∈[–π/2，π/2]
sin x = 0←→arcsin x = 0
sin x = 1/2 ←→ arcsin x = π/6
sin x = √2/2←→arcsin x = π/4
sin x =1←→arcsin x = π/2
2. 余弦函数 cos x， 反余弦函数 arccos x
y = cos x，x∈R， y∈[–1，1]，周期为2π，函数图像以 x = kπ 为对称轴
y = arccos x，x∈[–1，1]， y∈[0，π]
cos x = 0←→arccos x = π/2
cos x = 1/2 ←→ arccos x = π/3
cos x = √2/2←→arccos x = π/4
cos x =1←→arccos x =0
3. 反正弦函数 arcsin x，反余弦函数 arccos x
y = arcsin x 与 y = arccos x 自变量的取值范围都是x∈[–1，1]
y = arcsin x 与 y = arccos x 的图像关于直线 y =π/4 对称，相交与点 (√2/2 ，π/4)
4.正切函数 tan x， 余切函数 cot x
y = tan x，x∈( (–π/2) + kπ，(π/2) + kπ )， y∈R，周期为π，当x→±(π/2) + kπ 时，函数的极限是无穷大∞
y = cot x = 1 / tan x，x∈( kπ，(k+1)π)， y∈R，周期为π，当x→ kπ 时，函数的极限是无穷大∞
y = tan x 与y = cot x 的图像关于 x = (π/4) + kπ/2 对称
在单个周期内（第一个），y = tan x 与y = cot x 的图像相交与点 （π/4 ，1）。当 x =(π/4) + kπ/2 时，y = tan x 与y = cot x 函数的值都相等，等于±1
5. 反正切函数 arctan x，反余切函数 arccot x
y = arctan x 与 y = arccot x 自变量的取值范围都是x∈R
y = arctan x 与 y = arccot x的图像关于直线 y =π/4 对称，相交与点 (1 ，π/4)
tan x = 0←→arctan x = 0
tan x = 1←→arctan x = π/4
tan x = √3←→arctan x = π/6
6. 余割函数 csc x
y = csc x = 1 / sin x，x∈(0，kπ )，y∈(–∞，–1]∪[1，∞)，周期为π，当x→ kπ 时，函数的极限是无穷大∞
7. 正割函数 sec x
y = sec x = 1 / cosn x，x∈( (–π/2) + kπ，(π/2) + kπ )，y∈(–∞，–1]∪[1，∞)，周期为π，当x→(π/2) + kπ 时，函数的极限是无穷大∞
11. 反正切函数反余切函数求导
arc三角函数求导公式如下，
1.反正弦函求导公式，設×=siny为直接函数，则y=arcsinx是它的反函数，我们知道，函数×=siny在区间－π/2＜y＜π/2内单调、可导，而且（siny）'=cosy＞0
因此，根据公式，在对应区间
－1＜×＜1内有，（arcsinx）'=1/（siny）'=1／cosy，但cosy=√1-sin2y
=√1-×2，所以（arcsinx）'=1/√1-×2，
以下反三角函数类似方法求得。2.反余弦函数求导公式，
（arc cosx）'＝－1/√1－x2
3.反正切函数求导公式
（arc tanx）'=1/1+x2
4.反余切函数求导公式（arc cotx）'=－1/1+×2